Lekce 1
Analytické a geometrické řešení obyčejné diferenciální rovnice

Obsah:

Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu

Tvar rovnice n-tého řádu

Definice. Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu má tvar: \[ \mathcal F(x,y,y',\ldots,y^{(n)}) = 0, \tag{1} \] Zde \(x\) označuje nezávislou proměnnou, \(y = y(x)\) je neznámou funkcí a \(y',\ldots,y^{(n)}\) jsou derivace neznámé funkce. Řádem rovnice budeme rozumět řád nejvyšší derivace, která se vyskytuje v rovnici. \(\mathcal F\) je reálná funkce \(n + 2\) proměnných a definovaná na množině \(D\subset\mathbb R^{n+2}.\) Je-li to možné, uvádí se rovnice do tzv. normálního tvaru, kde je nejvyšší derivace vyjádřena explicitně na jedné straně rovnice: \[ y^{(n)} = f(x,y,\ldots,y^{(n-1)}), \tag{2} \] kde \(f:D\subset\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R.\) Poznamenjme, že pokud funkce \(\mathcal F\) resp. \(f\) nezávisí na proměnné \(x\), pak říkáme, že je rovnice (1) resp. (2) autonomní rovnicí.

Definice. Řešením rovnice (1) se rozumí funkce \(y = y(x)\) definovaná a n-krát diferencovatelná na jistém intervalu \(J\subset\mathbb R\) taková, že pro každé \(x\in J\) platí: \[ \mathcal F(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(n)}(x)) = 0, \] případně platí pro každé \(x\in J\): \[ y^{(n)} (x) = f(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)). \]

Příklady. (i) Rovnice \(y'- 2x = 0\) je rovnice 1. řádu s nezávislou proměnnou \(x\). Jejím řešením je např. funkce \(y = x^2\) na intervalu \(J = (-\infty,\infty)\). Obecným řešením pak bude neurčitý integrál \(y(x) = \int 2x dx = x^2 + C,\) kde \(C\) je libovolná reálná intergační konstanta.
(ii) Uvažujme rovnici \(y'= y.\) Obecným řešením je pak funkce \(y(x) = Ce^x\), kde \(x\in J = (-\infty, \infty).\)
(iii) Ukažme si ještě rovnici vyššího řádu. Uvažujme rovnici \[ y'' + y' - 6y = 0. \] Obecné řešení této rovnice lze zapsat předpisem: \[ y(x) = C_1e^{-3x} + C_2e^{2x}, \] kde \(x\in J=(-\infty,\infty).\) Všimněme si, že obecné řešení této rovnice 2. řádu závisí na dvou parametrech \(C_1\) a \(C_2.\)

Podívejte se na následující video, kde si ukážeme pár příkladů na určení řádu rovnice a příklady na ověření, že daná funkce řeší na jistém intervalu danou rovnici.

Cauchyova počáteční úloha

Uvažujme funkci \(f:D\to\mathbb R\) definovanou na množině \(D\subset\mathbb R^2\). Předpokládejme, že \((x_0,y_0)\in D\) a hledejme takové řešení rovnice \[ y'= f(x,y), \] takové, aby řešení vyhovovalo počáteční podmínce: \[ y(x_0) = y_0. \tag{CPP} \] Podmínku (CPP) budeme nazývat Cauchyovou počáteční podmínkou.

Integrální křivky, směrové pole

Uvažujme rovnici prvního řádu: \[ y'= f(x,y), \ \ \ (x,y)\in D\subset\mathbb R^2. \tag{3} \] Graf řešení \(y = y(x),\ x\in J\) této rovnice pak budeme nazývat integrální křivkou rovnice (3). Rovnice (3) má zajímavou geometrickou interpretaci. Je-li \((x,y)\in D\) a tímto bodem prochází integrální křivka, pak je směrnice tečny k této inregrální křivce v bodě \((x,y)\) rovna hodnotě \(f(x,y).\) Rovnice (3) je pak geometricky reprezentována pomocí tzv. směrového pole. Směrové pole obsahuje systém úseček procházející body \((x,y)\in D\), jejichž směrnice je rovna hodnotě \(f(x,y).\) Při kreslení směrového pole je užitečné zobrazit tzv. izoklíny. Izoklíny jsou křivky dané rovnicí \(f(x,y) = m,\) kde \(m\) je reálný parametr. Například rovnice \(f(x,y) = 0\) je rovnice křivky, procházející body, kde je směrnice tečny k integrální křivce procházející daným bodem rovna nule. Podívejte se na webovou stránku obsahující mathlet, kde je možné experimentovat se směrovým polem různých rovnic.